В данной работе предлагается методика приближенного решения одной известной задачи оптимального управления для квазилинейного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка и управления, ограниченного по модулю константой, с критерием квадратичного типа. Для каждого набора заданных координат и управления задача Коши сводится к интегральному уравнению. Рассматривается случай, когда все переменные принимают натуральные значения. Интегральное уравнение заменяется дискретным аналогом. Доказывается существование и единственность решения этого уравнения. Используется метод последовательных приближений в сочетании с методом сжимающих отображений.